В составе сборной России Косарев завоевал бронзовые награды Олимпийских игр 2004 и 2008 годов, стал серебряным призёром чемпионата мира - 2002, выиграл серебро чемпионата Европы - 2007, а также победил в Мировой лиге в 2002 году.
В послужном списке Александра также выступления за казанский «Зенит» и новоуренгойский «ФАКЕЛ». Он является восьмикратным чемпионом России, семикратным обладателем Кубка страны, четырёхкратным победителем Лиги чемпионов, обладателем Кубка ЕКВ.
По данным источника, 38-летний спортсмен продолжит работать в системе белгородского клуба в качестве тренера.